Génie-Electrique

Cours et TD Electronique-Electrotechnique et Automatique

Transformée de Fourier

Exercice : Développement en série de Fourier d’une fonction paire

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Si une fonction f est périodique de periode T ( donc de fréquence f ), on peut alors la développer en série de Fourier en calculant les coefficients de Fourier réels avec :

$a_{0}(f)={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\,\mathrm {d} t=c_{0}(f)$

pour n > 0 : $a_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left(nt{\frac {2\pi }{T}}\right)\,\mathrm {d} t$ ; et $b_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left(nt{\frac {2\pi }{T}}\right)\,\mathrm {d} t$

Dans ce cas on peut écrire : $f(x)=a_{0}(f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}(f)\cdot \cos \left(nx{\frac {2\pi }{T}}\right)+b_{n}(f)\cdot \sin \left(nx{\frac {2\pi }{T}}\right)\right)$ .

Les coefficients sont valables pour une fréquence f de la fonction ou signal f(x).

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