Exercice : La transformée en Z et et suites numériques

La transformée en Z d’une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal. Le décalage temporel de k échantillons d’un signal se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z^−k.

Définition et domaines de convergence

Définition : Soit (u_n) une suite. On appelle transformée en Z de cette suite la fonction d’une variable complexe définie par :

En séparant la somme en deux, somme sur les entiers négatifs et somme sur les entiers positifs, on distingue deux séries entières, l’une en z et l’autre en 1/z. Le domaine de convergence de la transformée en z est alors une couronne.  Souvent, on n’étudie la transformée en Z que pour des suites causales, c’est-à-dire des suites telles que u_n=0 pour n<0. La définition devient alors

et le domaine de convergence est l’extérieur d’un disque.

Définition et domaines de convergence

  Voici une table des transformées en Z usuelles. On ne considère que des suites causales.

Propriétés de la transformée en z

  La transformée en Z possède les propriétés formelles suivantes :

  Par ailleurs, elle vérifie le théorème suivant, dit de la valeur initiale et de la valeur finale :

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