24 septembre 2022

Génie-Electrique

Cours et TD Electronique-Electrotechnique et Automatique

Exercice1 : Transformée en z inverse

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La transformation en Z est un outil mathématique de l’automatique et du traitement du signal, qui est l’équivalent discret de la transformation de Laplace. Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.

Définition  : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d’une variable complexe nommée z, telle que

Propriétés de la transformation en Z:

La transformée en Z d’une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.

Décalage temporel:

Le décalage temporel de k échantillons d’un signal se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z−k.

Avance:

Lorsqu’on utilise la transformée en Z monolatérale (voir ci-dessus), on obtient

Convolution:

La transformée en Z d’un produit de convolution est le produit des transformées en Z

Multiplication par une exponentielle:

avec  transformée en Z de la suite 

Multiplication par la variable d’évolution:

De façon générale :

signifie que l’on applique k fois à l’opérateur 

Si l’on écrit cette formule au rang k=1, on obtient la formule de dérivation :

Théorème de la valeur initiale: 

Soit   un signal causal et  sa transformée en Z. Alors :

                                                                         

Théorème de la valeur finale:

Soit  un signal causal et  sa transformée en Z. Alors lorsque la limite de gauche existe, on peut écrire :

                                                                       

Exercice :

TD1_TZ

Correction : 

TD1_TZ_Correction