Introduction aux systèmes linéaires

Un système physique quelconque ( électronique, électromécanique, pneumatique …) produit une sortie s(t) lorsqu’il est excité par un signal d’entrée e(t).

Réponse indicielle d’un système linéaire
Les analyses fréquentielle et temporelle conduisent, l’une et l’autre, à la fonction de transfert H(p) des systèmes. La première utilise les aspects fréquentiels de la réponse s(t) et la seconde ses aspects temporels.

La réponse indicielle d’un système est le signal en sortie su (t) lorsque l’entrée e(t) est un échelon unité u(t). Selon le nature physique de e(t) on donnera à ”1” la dimension nécessaire ou mieux, on utilisera le signal e(t) = E.u(t) ; la réponse du système est alors s(t) = E.su(t)(t) car le système est linéaire.

Temps de réponse à 5% et temps de monté
• Le temps de réponse à 5%, noté tr, est le temps nécessaire pour que la sortie du système évolue jusqu’à ce que son écart à la valeur finale soit dénitivement inférieur à 5% de l’écart entre la valeur initiale et la valeur finale.
• Le temps de monté de 10% à 90% est la durée tm nécessaire pour que la sortie du système passe de 10% à 90% de sa valeur finale.
• Si la sortie du système sort à certains instants de l’intervalle [valeur initiale, valeur finale], on dit qu’il y a dépassement. On l’évalue en pourcentage de l’écart entre valeurs initiale et finale.

Il faut alors résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales. Les étapes de cette résolution sont :
• recherche du régime libre s1(t) correspondant à la solution générale de l’équation di)érentielle sans second membre ; cette solution tend vers 0 pour un temps infini.
• recherche du régime forcé s2(t) correspondant à une solution particulière de l’équation di)érentielle complète ; cette solution est constante.
On e)ectue tout d’abord la somme de ces deux solutions s(t) = s1(t) + s2(t) puis on détermine les constantes
d’intégration à l’aide des conditions initiales en utilisant éventuellement les propriétés ci-dessous :
• la tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue du temps,
• le courant circulant dans une bobine est une fonction continue du temps.

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