Exercices Corrigés sur le développement d’un signal en Série de Fourier

28 octobre 2026 WikiGelec78

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Série de Fourier : Fiche Résumé

Le Principe :
Tout signal périodique f(t) de période T et de pulsation ω = 2π/T peut être décomposé en une somme d’un terme constant (sa valeur moyenne) et d’une infinité de fonctions sinusoïdales (les harmoniques).

Formulation Expression du signal f(t) Calcul des coefficients

Formulation	Expression du signal f(t)	Calcul des coefficients
Trigonométrique (Réelle) Utilise les sinus et cosinus	`f(t) = a₀ + Σ_n=1^∞ [ a_n·cos(nωt) + b_n·sin(nωt) ]`	Valeur moyenne : `a₀ = (1/T) ∫₀^T f(t) dt` Coefficients a_n (pairs) : `a_n = (2/T) ∫₀^T f(t)·cos(nωt) dt` Coefficients b_n (impairs) : `b_n = (2/T) ∫₀^T f(t)·sin(nωt) dt`
Exponentielle (Complexe) Plus compacte pour les calculs	`f(t) = Σ_n=-∞^+∞ C_n·e^i·nωt`	Coefficient complexe C_n : `C_n = (1/T) ∫₀^T f(t)·e^-i·nωt dt`
Relations de passage	Le lien entre les coefficients réels et complexes (pour n > 0) : `C_n = (a_n - i·b_n) / 2` `C₀ = a₀` `a_n = C_n + C_-n` `b_n = i · (C_n - C_-n)`

Trigonométrique (Réelle)
Utilise les sinus et cosinus

f(t) = a₀ + Σ_n=1^∞ [ a_n·cos(nωt) + b_n·sin(nωt) ]

Valeur moyenne :
a₀ = (1/T) ∫₀^T f(t) dt

Coefficients a_n (pairs) :
a_n = (2/T) ∫₀^T f(t)·cos(nωt) dt

Coefficients b_n (impairs) :
b_n = (2/T) ∫₀^T f(t)·sin(nωt) dt

Exponentielle (Complexe)
Plus compacte pour les calculs f(t) = Σ_n=-∞^+∞ C_n·e^i·nωt Coefficient complexe C_n :
C_n = (1/T) ∫₀^T f(t)·e^-i·nωt dt