Comment utiliser les nombres complexes en électricité

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Rappel sur les nombres complexes ( application au domaine de l’électricité) :

La notation complexe remplace avantageusement la représentation de Fresnel puisqu’elle permet d’éviter la représentation graphique des vecteurs. Dans l’ensemble des nombres réels, un vecteur plan est représenté par deux coordonnées x et y.

En complexe ce même vecteur pourra être représenté par une équation mathématique.

le symbole habituellement utilisé en mathématique pour représenter un imaginaire pur et la lettre i .
En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée pour représenter un courant, d’où le choix de la lettre j .

j: est un nombre complexe d’argument égale à π/2 et de module égal à 1 tel que j² = -1.

Représentation des nombres complexes

Soit un nombre complexe :

z =a +j b : sous la forme algébrique

On peut le représenter avec des coordonnées polaires

si un nombre complexe : z=a +jb= Z e ^jj

Alors le complexe conjugué de z est z*= a-jb = Z e^-jj

Ce qui revient à : e^j0 = 1 ; e^jπ/2= j , et e^-jπ/2= -j et e^jπ = -1

Opération sur des nombres complexes

Addition, soustraction de nombres complexes

On utilise de préfèrence la notation cartésienne ( dites aussi algébrique) .

Soit deux nombres complexes : z₁= a+jb et z₂=c+jd alors z₁+z₂= (a+c)+j(b+d)

Inverse d’un nombre complexe

Dans ce cas on utilise de préférence la notation polaire: soit le complexe y=Y e ^jβ tel que y=1/z

Alors : y=Y e ^jβ= 1⁄z = 1 /( Ze^jj ) = 1/( Z).e^-jjOn en déduit que : Y = 1 / Z et β=-φ

Si z =[Z;φ] alors y=1/z= [1/Z;-φ]

Produit et division de deux nombres complexes

On utilise de préférence la notation polaire.

Soient deux complèxes:z₁=Z₁ e^(jφ₁)et z₂=Z₂ e^(jφ₂)alors le produit : z₁. z₂=Z₁.Z₂e^{j(φ₁+φ₂)}

et le rapport z₁/z₂ = Z₁/Z₂.e^{j (φ₁– φ₂)}

Représentation complexe des grandeurs électriques

Tension et courant

Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l’argument la phase à l’origine θ_u .

équation horaire	écriture exponentielle	écriture polaire
u(t)= U√2 sin(ωt+θ_u)	U=U.e^jθu	U =[U,θ_u]
i(t)= I√2sin(ωt+θ_i)	I=I.e^jθi	I =[I,θ_i]

Impédance et admittance d’un dipôle

Si on considère un dipôle d’impédance z .

On exprime une impédance complexe par la relation : z= Z e^jj

Z est le module de l’impédance en ohms (W)

^j: est le déphasage introduit par le dipôle entre la tension u aux bornes du dipôle et le courant i qui le traverse ( ^jen radians – rad).

Ce qui donne pour les dipôles élémentaires R, L et C

Tableau des impédances complexes élémentaires

Dipôle\Impdénace	Forme exponentielle	forme polaire
Résistance ( R)	z_R= R	z_R=[R;0]
Inductance(L)	z_L= jLω	z_L=[Lω;π/2]
Condensateur (C)	z_C= -j/(C .ω)	z_C=[1/(C.ω);-π/2]

L’admittance y d’un dipôle est l’inverse de l’impédance z de ce même dipôle.

Tableau des admittances complexes élémentaires

Dipôle\admittance	Forme exponentielle	forme polaire
Résistance ( R)	y_R= 1/R	y_R=[1/R;0]
Inductance(L)	y_L= -j/Lω	y_L=[1/Lω;-π/2]
Condensateur (C)	y_C= j.C .ω	z_C=[C.ω;+π/2]

Associations de dipôles

Principe

On généralise aux impédances complexes ce que l’on connaît déjà pour la résistance.

Si les dipôles sont en séries, l’impédance équivalente est la somme des impédances.

z = z₁+z₂+z₃

Si les dipôles sont en parallèles, l’admittance équivalente est la somme des admittances.

y= y₁+y₂+y₃

La résonance:

Il y a une fréquence particulière f₀ dite fréquence de résonance, c’est la fréquence qui vérifie l’équation Im(z) = 0 (partie imaginaire de l’impédance z nulle).

Pour un circuit (R,L,C) série cette fréquence f₀ est telle que L.C.ω₀²= 1 ( avec ω₀= 2π.f₀).

Pour cette fréquence on risque d’avoir des surtensions aux bornes de l’inductance L et du condensateur C, en effet à la résonance l’intensité du courant dans le circuit n’est limitée que par la résistance car z= R.

Rappel sur les nombres complexes ( application au domaine de l’électricité) :

La notation complexe remplace avantageusement la représentation de Fresnel puisqu’elle permet d’éviter la représentation graphique des vecteurs. Dans l’ensemble des nombres réels, un vecteur plan est représenté par deux coordonnées x et y.

En complexe ce même vecteur pourra être représenté par une équation mathématique.

le symbole habituellement utilisé en mathématique pour représenter un imaginaire pur et la lettre i . En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée pour représenter un courant, d’où le choix de la lettre j .

j: est un nombre complexe d’argument égale à π/2 et de module égal à 1 tel que j² = -1.

Représentation des nombres complexes

Soit un nombre complexe :

z =a +j b : sous la forme algébrique

On peut le représenter avec des coordonnées polaires

si un nombre complexe : z=a +jb= Z e jj

Alors le complexe conjugué de z est z*= a-jb = Z e-jj

Ce qui revient à : ej0 = 1 ; ejπ/2= j , et e-jπ/2= -j et ejπ = -1

Opération sur des nombres complexes

On utilise de préfèrence la notation cartésienne ( dites aussi algébrique) .

Soit deux nombres complexes : z1= a+jb et z2=c+jd alors z1+z2= (a+c)+j(b+d)

Inverse d’un nombre complexe

Dans ce cas on utilise de préférence la notation polaire: soit le complexe y=Y e jβ tel que y=1/z

Alors : y=Y e jβ= 1⁄z = 1 /( Zejj ) = 1/( Z).e-jj On en déduit que : Y = 1 / Z et β=-φ

Si z =[Z;φ] alors y=1/z= [1/Z;-φ]

Produit et division de deux nombres complexes

On utilise de préférence la notation polaire.

Soient deux complèxes:z1=Z1 e(jφ1) et z2=Z2 e(jφ2) alors le produit : z1. z2=Z1.Z2ej(φ1+φ2)

et le rapport z1/z2 = Z1/Z2.ej (φ1– φ2)

Représentation complexe des grandeurs électriques

Tension et courant

Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l’argument la phase à l’origine θu .

équation horaire

écriture exponentielle

écriture polaire

u(t)= U√2 sin(ωt+θu)

U=U.ejθu

U =[U,θu]

i(t)= I√2sin(ωt+θi)

I=I.ejθi

I =[I,θi]

Si on considère un dipôle d’impédance z .

On exprime une impédance complexe par la relation : z= Z ejj

Z est le module de l’impédance en ohms (W)

j : est le déphasage introduit par le dipôle entre la tension u aux bornes du dipôle et le courant i qui le traverse ( j en radians – rad).

Ce qui donne pour les dipôles élémentaires R, L et C

Tableau des impédances complexes élémentaires

Dipôle\Impdénace

Forme exponentielle

forme polaire

Résistance ( R)

zR= R

zR=[R;0]

Inductance(L)

zL= jLω

zL=[Lω;π/2]

Condensateur (C)

zC= -j/(C .ω)

zC=[1/(C.ω);-π/2]

L’admittance y d’un dipôle est l’inverse de l’impédance z de ce même dipôle.

Tableau des admittances complexes élémentaires

Dipôle\admittance

Forme exponentielle

forme polaire

Résistance ( R)

yR= 1/R

yR=[1/R;0]

Inductance(L)

yL= -j/Lω

yL=[1/Lω;-π/2]

Condensateur (C)

yC= j.C .ω

zC=[C.ω;+π/2]

Associations de dipôles

Principe

On généralise aux impédances complexes ce que l’on connaît déjà pour la résistance.

Si les dipôles sont en séries, l’impédance équivalente est la somme des impédances.

z = z1+z2+z3

Si les dipôles sont en parallèles, l’admittance équivalente est la somme des admittances.

y= y1+y2+y3

La résonance:

Il y a une fréquence particulière f0 dite fréquence de résonance, c’est la fréquence qui vérifie l’équation Im(z) = 0 (partie imaginaire de l’impédance z nulle).

Pour un circuit (R,L,C) série cette fréquence f0 est telle que L.C.ω02= 1 ( avec ω0= 2π.f0).

Pour cette fréquence on risque d’avoir des surtensions aux bornes de l’inductance L et du condensateur C, en effet à la résonance l’intensité du courant dans le circuit n’est limitée que par la résistance car z= R.

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En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée pour représenter un courant, d’où le choix de la lettre j .

si un nombre complexe : z=a +jb= Z e ^jj

Alors le complexe conjugué de z est z*= a-jb = Z e^-jj

Ce qui revient à : e^j0 = 1 ; e^jπ/2= j , et e^-jπ/2= -j et e^jπ = -1

Soit deux nombres complexes : z₁= a+jb et z₂=c+jd alors z₁+z₂= (a+c)+j(b+d)

Dans ce cas on utilise de préférence la notation polaire: soit le complexe y=Y e ^jβ tel que y=1/z

Alors : y=Y e ^jβ= 1⁄z = 1 /( Ze^jj ) = 1/( Z).e^-jjOn en déduit que : Y = 1 / Z et β=-φ

Soient deux complèxes:z₁=Z₁ e^(jφ₁)et z₂=Z₂ e^(jφ₂)alors le produit : z₁. z₂=Z₁.Z₂e^{j(φ₁+φ₂)}

et le rapport z₁/z₂ = Z₁/Z₂.e^{j (φ₁– φ₂)}

Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l’argument la phase à l’origine θ_u .

u(t)= U√2 sin(ωt+θ_u)

U=U.e^jθu

U =[U,θ_u]

i(t)= I√2sin(ωt+θ_i)

I=I.e^jθi

I =[I,θ_i]

On exprime une impédance complexe par la relation : z= Z e^jj

^j: est le déphasage introduit par le dipôle entre la tension u aux bornes du dipôle et le courant i qui le traverse ( ^jen radians – rad).

z_R= R

z_R=[R;0]

z_L= jLω

z_L=[Lω;π/2]

z_C= -j/(C .ω)

z_C=[1/(C.ω);-π/2]

y_R= 1/R

y_R=[1/R;0]

y_L= -j/Lω

y_L=[1/Lω;-π/2]

y_C= j.C .ω

z_C=[C.ω;+π/2]

z = z₁+z₂+z₃

y= y₁+y₂+y₃

Il y a une fréquence particulière f₀ dite fréquence de résonance, c’est la fréquence qui vérifie l’équation Im(z) = 0 (partie imaginaire de l’impédance z nulle).

Pour un circuit (R,L,C) série cette fréquence f₀ est telle que L.C.ω₀²= 1 ( avec ω₀= 2π.f₀).