Comment utiliser les nombres complexes en électricité

Rappel sur les nombres complexes ( application au domaine de l’électricité) :

La notation complexe remplace avantageusement la représentation de Fresnel puisqu’elle permet d’éviter la représentation graphique des vecteurs. Dans l’ensemble des nombres réels, un vecteur plan est représenté par deux coordonnées x et y.

En complexe ce même vecteur pourra être représenté par une équation mathématique.

le symbole habituellement utilisé en mathématique pour représenter un imaginaire pur et la lettre i .
En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée pour représenter un courant, d’où le choix de la lettre j .

j: est un nombre complexe d’argument égale à π/2 et de module égal à 1 tel que j² = -1.

Représentation des nombres complexes

Soit un nombre complexe :

z =a +j b : sous la forme algébrique

On peut le représenter avec des coordonnées polaires

si un nombre complexe :  z=a +jb= Z e ^jj

Alors le complexe conjugué de z est z*= a-jb = Z e^-jj

Ce qui revient à : e^j0 = 1 ; e^jπ/2= j , et e^-jπ/2= -j et e^jπ = -1

 Opération sur des nombres complexes

Addition, soustraction de nombres complexes

On utilise de préfèrence la notation cartésienne ( dites aussi algébrique) .

Soit deux nombres complexes : z₁= a+jb et z₂=c+jd alors z₁+z₂= (a+c)+j(b+d)

Inverse d’un nombre complexe

Dans ce cas on utilise de préférence la notation polaire: soit le complexe y=Y e ^jβ tel que y=1/z

Alors : y=Y e ^jβ= 1⁄z = 1 /( Ze^jj ) = 1/( Z).e^-jj On en déduit que : Y = 1 / Z et β=-φ

Si z =[Z;φ] alors y=1/z= [1/Z;-φ]

 Produit et division de deux nombres complexes

On utilise de préférence la notation polaire.

Soient deux complèxes:z₁=Z₁ e^(jφ₁) et z₂=Z₂ e^(jφ₂) alors le produit : z₁. z₂=Z₁.Z₂e^{j(φ₁+φ₂)}

et le rapport z₁/z₂ = Z₁/Z₂.e^{j (φ₁– φ₂)}

Représentation complexe des grandeurs électriques

Tension et courant 

Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l’argument la phase à l’origine θ_u .

équation horaire	écriture exponentielle	écriture polaire
u(t)= U√2 sin(ωt+θu)	U=U.ejθu	U =[U,θu]
i(t)= I√2sin(ωt+θi)	I=I.ejθi	I =[I,θi]

 Impédance et admittance d’un dipôle

Si on considère un dipôle d’impédance z .

On exprime une impédance complexe par la relation : z= Z e^jj

Z est le module de l’impédance en ohms (W)

^j : est le déphasage introduit par le dipôle entre la tension u aux bornes du dipôle et le courant i qui le traverse ( ^j en radians – rad).

Ce qui donne pour les dipôles élémentaires R, L et C

Tableau des impédances complexes élémentaires

Dipôle\Impdénace	Forme exponentielle	forme polaire
Résistance ( R)	zR= R	zR=[R;0]
Inductance(L)	zL= jLω	zL=[Lω;π/2]
Condensateur (C)	zC= -j/(C .ω)	zC=[1/(C.ω);-π/2]

L’admittance y d’un dipôle est l’inverse de l’impédance z de ce même dipôle.

Tableau des admittances complexes élémentaires

Dipôle\admittance	Forme exponentielle	forme polaire
Résistance ( R)	yR= 1/R	yR=[1/R;0]
Inductance(L)	yL= -j/Lω	yL=[1/Lω;-π/2]
Condensateur (C)	yC= j.C .ω	zC=[C.ω;+π/2]

Associations de dipôles

Principe

On généralise aux impédances complexes ce que l’on connaît déjà pour la résistance.

Si les dipôles sont en séries, l’impédance équivalente est la somme des impédances.

z = z₁+z₂+z₃

Si les dipôles sont en parallèles, l’admittance équivalente est la somme des admittances.

y= y₁+y₂+y₃

La résonance:

Il y a une fréquence particulière f₀ dite fréquence de résonance, c’est la fréquence qui vérifie l’équation Im(z) = 0 (partie imaginaire de l’impédance z nulle).

Pour un circuit (R,L,C) série cette fréquence f₀ est telle que L.C.ω₀²= 1 ( avec ω₀= 2π.f₀).

Pour cette fréquence on risque d’avoir des surtensions aux bornes de l’inductance L et du condensateur C, en effet à la résonance l’intensité du courant dans le circuit n’est limitée que par la résistance car z= R.