Calcul de Φ(t)=e(At) : Il existe plusieurs méthode pour calculer l’exponentielle d’une matrice : utiliser la forme diagonalisable ou à défaut, de Jordan, décomposition de la matrice en élément simple.
Par définition, le système est stable si et seulement si la matrice d’évolution libre A vérifie 0 e (At) → quant t → ∞ .
Théorème : le système est stable si et seulement si toutes les valeurs propres de A (les racines de det(pI-A)) sont à parties réelles strictement négatives.
On montre que l’équation différentielle : X ‘(t) = AX (t) + BU(t) admet une solution entre les instants t0 et t qui se décompose en une somme de deux fonctions : la réponse libre Xl ne dépendant que des conditions initiales X0 à l’instant t0 et une réponse forcée Xf ne dépendant que l’entrée U(t) du système : X (t) = Xl (t) + Xf (t) .
Plus d'articles
Exercices Corrigés : Passage d’une fonction de transfert à la représentation d’état
Exercices corrigés : Asservissement d’un moteur à CC par PID et placement de Pôles
Exercice corrigé : Détermination de la fonction de transfert à partir de la représentation d’état
TD : Représentation d’état d’un système asservi avec Correction