La transformée en Z d’une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal. Le décalage temporel de k échantillons d’un signal se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z−k.
Définition et domaines de convergence
Définition : Soit (un) une suite. On appelle transformée en Z de cette suite la fonction d’une variable complexe définie par :
En séparant la somme en deux, somme sur les entiers négatifs et somme sur les entiers positifs, on distingue deux séries entières, l’une en z et l’autre en 1/z. Le domaine de convergence de la transformée en z est alors une couronne. Souvent, on n’étudie la transformée en Z que pour des suites causales, c’est-à-dire des suites telles que un=0 pour n<0. La définition devient alors
et le domaine de convergence est l’extérieur d’un disque.
Définition et domaines de convergence
Voici une table des transformées en Z usuelles. On ne considère que des suites causales.
Propriétés de la transformée en z
La transformée en Z possède les propriétés formelles suivantes :
Par ailleurs, elle vérifie le théorème suivant, dit de la valeur initiale et de la valeur finale :
Théorème : Soit (x(n)) une suite causale et F sa transformée en Z. Alors :
