Exercices Corrigés sur le développement en Série de Fourier

7 novembre 2026 WikiGelec78

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Rappel : développement d’un signal en série de Fourier

Le développement en série de Fourier constitue un outil fondamental en mathématiques, en physique et en génie électrique. Il permet d’analyser les signaux périodiques et d’étudier leur contenu fréquentiel.

1. Principe de la série de Fourier

Tout signal périodique satisfaisant les conditions usuelles de Dirichlet peut être décomposé en une somme de composantes sinusoïdales.

Ces composantes comprennent une valeur moyenne, un fondamental et des harmoniques de fréquences multiples de celle du fondamental.

Pour un signal de période T : f₀ = 1/T ; ω₀ = 2π/T

La série de Fourier s’écrit : x(t) = a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nω₀t) + b_n sin(nω₀t)]

Les coefficients sont calculés sur une période :

a₀ = (2/T) ∫₀^T x(t) dt

a_n = (2/T) ∫₀^T x(t) cos(nω₀t) dt

b_n = (2/T) ∫₀^T x(t) sin(nω₀t) dt

2. Signification physique

Chaque terme représente une composante fréquentielle du signal :

a₀/2 : valeur moyenne ou composante continue.
n = 1 : fondamental de fréquence f₀.
n = 2 : harmonique de fréquence 2f₀.
n = 3 : harmonique de fréquence 3f₀.
n : harmonique de fréquence nf₀.

L’amplitude de chaque harmonique est :

A_n = √(a_n² + b_n²)

3. Exemple : signal carré symétrique

Considérons un signal carré alternatif, de période T, prenant les valeurs +E et -E pendant chaque demi-période.

Son développement en série de Fourier est : x(t) = (4E/π) [ sin(ω₀t) + (1/3)sin(3ω₀t) + (1/5)sin(5ω₀t) + … ]

Ce signal possède uniquement des harmoniques impaires. La valeur moyenne et les harmoniques paires sont nulles.

L’augmentation du nombre d’harmoniques améliore la reconstitution du signal carré.

4. Domaines d’application

Électronique de puissance

La série de Fourier permet d’étudier les tensions et les courants produits par les onduleurs, redresseurs et gradateurs. Elle facilite l’identification des harmoniques générées par les commutations.

Électrotechnique

Elle permet d’analyser les déformations des courants et des tensions dans les réseaux électriques. Elle intervient notamment dans le calcul du taux de distorsion harmonique (THD).

Filtrage des signaux

La décomposition fréquentielle permet de dimensionner des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande. Ces filtres atténuent les composantes fréquentielles indésirables.

Automatique et traitement du signal

Elle facilite l’étude de la réponse des systèmes linéaires aux différentes fréquences. Elle intervient également dans les télécommunications, l’acoustique et l’analyse vibratoire.

5. Utilité pratique en génie électrique

Dans un réseau électrique à 50 Hz, un courant déformé peut contenir plusieurs harmoniques :

Fondamental : 50 Hz.
Harmonique 3 : 150 Hz.
Harmonique 5 : 250 Hz.
Harmonique 7 : 350 Hz.

Ces harmoniques peuvent provoquer un échauffement supplémentaire des équipements, des pertes électriques et des perturbations.

Le taux de distorsion harmonique du courant s’exprime par : THD_I = [√(∑_n=2^∞ I_n²) / I₁] × 100 %

Les courants I_n représentent les valeurs efficaces des harmoniques. I₁ désigne la valeur efficace du fondamental.

6. À retenir

La série de Fourier transforme l’étude d’un signal périodique complexe en celle de composantes sinusoïdales. Elle constitue un outil essentiel pour analyser les harmoniques, dimensionner les filtres et améliorer la qualité de l’énergie électrique.